Rezolvare subiecte Evaluare Nationala 2026 Matematica

SUBIECTUL I.

1. 12- 2×5 = 12-10 = 2 raspuns c)
2. 40/100 x 250 = 100 raspuns c)
3. Opusul lui 10 este -10 => suma = 10 – 10 = 0 raspuns d)
4. 1,(2) = (12-1)/9 = 11/9 raspuns c)
5. 2x = (√ 5 – 1)(√ 5 + 1) => 2x = 5 – 1 => 2x = 4 => x=2 raspuns b)
6. Cele mai putine masini au fost vandute in martie – Adevarat raspuns a)

SUBIECTUL II.

1. AD = 6 cm => AC = CD = 3 cm. Cum AB = 1 cm => BC = AC – AB = 3 – 1 = 2 cm raspuns c)
2. Unghiul EAB este suplementul lui ACD deoarece dreptele sunt paralele si nu suntem in nici unul dintre cazurile: alterne interne/externe sau corespondente. Deci EAB = 180^o – 80^o = 100^o raspuns b)
3. AD mediana in triunghi si G centru de greutate => AG = 2 GD => aria _ADC = 3 x aria _GDC = 3 x 15 = 45 cm² Cum AD mediana in triunghiul ABC => aria _ABC = 2 x 45 = 90 cm² raspuns d)
4. Cum triunghiul BDC este dreptunghic => aria _BDC = 12 / 2 = 6 cm² => aria _ABCD = 6 x 2 = 12 cm² (metoda 2: aria _ABCD = BD x BC = 12 cm² inaltimte inmultita cu baza) raspuns b)
5. BDC = 40^o => arcul BC = 80^o si, cum AC diametru rezulta arcul AB = 180^o – 80^o = 100^o => BCA = 100^o / 2 =50^o raspuns b)
6. VO = 6, AB = 4, baza patrat => volum piramida VABCD = (arie baza x inaltime) / 3 = 6×4²/3 = 6×16/3 = 96/3 = 32 cm³ raspuns a)

SUBIECTUL III.

1.

a) Fie m = pretul mingii si c = numarul de copii. Daca m = 153 => 18 c + 30 = 153 => 18c = 123 => c = 6.8(3) nu se poate in numere naturale => afirmatia este falsa

b) Cu notatiile de la a) => m = 18c + 30 = 24c – 12 => 24c – 18c = 30 + 12 => 6c = 42 => c = 7 copii => mingea costa m=18 x 7 + 30 = 126 + 30 = 156 lei (VERIFICARE doar pe ciorna: (156 + 12) / 24 = 7 si (156-30)/18 = 7 )

2.

a) E(x) = [x(x-2) + (x-3) + 7-3x)]/[(x-2)(x-3)] = (x² – 2x + x – 3 + 7 – 3x)/[(x-2)(x-3)] = (x² -4x + 4)/[(x-2)(x-3)] = (x-2)² /[(x-2)(x-3)] = (x-2)/(x-3)

b)Conform a) => E(4) = (4-2)/(4-3) = 2/1 = 2 => A = 2ⁿ + 2ⁿ⁺³ = 2ⁿ (1 +2³ ) = 9 x 2ⁿ = M9 x M2 = M18 deoarece 2 si 9 sunt numere prime intre ele.

3.

a) f(1) = 3 – 6 = -3

f(3) = 3×3 – 6 = 9 -6 = 3

f(1) + f(3) = -3 + 3 = 0

b) {A} = G_f ∩ Ox => rezolvam ecuatia f(x) = 0 => 3x – 6 = 0 => 3x = 6 => x = 2 => A(2,0)

{B} = G_f ∩ Oy => f(0) = 0 – 6 = – 6 => B(0, – 6)

M mijloc AB => M((2+0)/2, (0-6)/2) = M(2/2, -6/2) = M(1,-3)

O(0,0) = > lungimea OM = √ (0-1)² + (0+3)² = √10

4.

a) AB, CD coarde perpendiculare.

OA= r = 6 cm, OM = 3 cm si cum triunghiul AOM dreptunghic in M, aplicam Teorema lui Pitagora: AM² + OM ² = AO ² => AM² + 9 = 36 => AM = √27 = 3√3

b) Conform a) => MB = AM = 3√3 si AB =2AM = 6√3

Fie {P} = AB ∩ CD

Unghiul BAC = arc BC / 2 si unghiul ABD = arc AD / 2

Triunghiurile APC si BPD sunt dreptunghice in P => AC² = AP ² +CP ² si BD² = BP ² +DP ²

Adunam => AC² + BD² = AP ² + BP ² + CP ² + DP ²

Fie N = proiectia O pe CD => OMPN dreptunghi => PN = OM = 3 si MP = ON

AP = 3√3 – PM, BP = 3√3 + PM

Triunghiurile APD si BPC sunt dreptunghice si asemenea pentru ca unghiul PCB = arc BD / 2 = unghi BAD

Va rezulta, daca notam MP = x si CP = y => y PD = (3√3 +x)(3√3 -x) => y² + 6y = 27 – x² => (y+3)² = 36 – x²

Triunghiul OCD este isoscel => CN = ND = y +3

AP² + BP² = (3√3 +x)² + (3√3 -x)² = 54 + 2x²

Deci AC² + BD² = 54 + 2MP² + (CN-3)² + (CN+3)² = 54 + 2MP² + 2CN² + 18 = 72 + 72 = 144

5.

a) N, T mijoloace => DN = AT si cum DN || AT => DNTA paralelogram

DN = AT = 5 cm si DA = NT = 8 cm => Perimetru DNTA = 2 (8+5) = 26 cm

b) DN = TB si DN || TB => DNBT, CBTN paralelogram

Notam {V} = NT ∩ AM.

Unghiul VQN = MQB op vf si cum VN || MB => triunghiurile VNQ si MBQ asemenea, la fel AVT si AMB asemenea

Rapoarte egale: AV/AM = VT/ MB = AT/ AB = 1/2 => MB = 2 VT = BC /2 => VT = BC / 4

NV = BC – BC/4 = 3/4 BC

AV = AM/2

MQ/VQ = (BC/2) / (3/4 BC) = 4/6 = 2/3 => exista k, MQ = 2k, VQ = 3k => VM = 5k => AQ = 8k => AQ/QM = 8k/2k = 4

6.

a) Aria laterala = 4LH = 4 x 4 x 4√ 2 = 64 √ 2 cm²

b)C’BD = triunghi isoscel deoarece C’B = C’D diagonale in dreptunghiuri congruente

Notam {O} = AC ∩ BD.

ABCD patrat => AO perpendicular pe BD si cum A’A perpendicular pe planul (ABCD), A’ nu apartine (ABCD), AO inclusa in (ABCD) => din teorema celor 3 perpendiculare ca A’O perpendicular pe BD. De asemenea C’O perpendicular pe BD. Fie T proiectia lui A’ pe C’O

A’C’ = 4√ 2 diagonala in patrat

A’O² = 4√ 2² + AO² dar AO = AC/2 = 4√ 2/ 2 = 2√ 2 => A’O² = 32 + 8 => A’O = √ 40 = 2√ 10

C’O² = C’C² + CO² = 4√ 2² + AO² => C’O = A’O = 2√10

Triunghiul OA’C’ va fi isoscel. Distanta de la A’ la planul (C’BD) va fi de fapt inaltimea A’T in triunghiul OA’C’

Calculam aria in 2 moduri

Fie h inaltimea din O pe A’C’ => h² = 2√10² – 2√2² = 40 – 8 = 32 => h = 4√2 => aria = h x A’C’ / 2 = 4√2 x 4√2 / 2 = 16 cm². Dar aria = A’T x C’O / 2 => A’T = 32 / C’O = 16/√10 = 16√10 / 10 = 8√10 / 5