Probleme matematica clasa 9 – triunghi cu laturi in progresie aritmetica

Daca un triunghi ABC are laturile in progresie aritmetica cu ratia r raza cercului inscris, calculati cosinusurile unghiurilor.

Presupunem ca a = b – r si c = b + r
p = (a+b+c)/ 2 = 3b/2 -> semiperimetrul

Notam aria cu S. Conform formulei lui Heron:

S = √ p(p-a)(p-b)(p-c) = √ 3b/2(3b/2 – b+r)(3b/2 – b)(3b/2 – b-r) = √3b/4(b/2+r)(b/2-r) =>

S = b√3 / 2 (√ (b²/4 – r²)

Dar S = rp unde r = raza cerc inscris

Deci r²p² = S²

9r²=3(b²/4 – r²) => 12r² = 3b²/4 => 48 r² = 3b² => 16 r² = b² => b = 4r

Deci a = 3r, b = 4r, c = 5r

Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, deoarece a²+b² = c² => triunghiul ABC este dreptunghic cu ipotenuza c => cos C = 0, cos B = 3/5, cos A = 4/5