Aplicatii gimnaziu si liceu

Rezolvare subiecte Evaluarea Nationala iunie 2020 – Matematica

Subiectul I.

  1. 60 – 20:2 = 60 – 10 = 50
  2. 1/4 din 120 = 120 / 4 = 30
  3. Cel mai mic numar natural din intervalul [10,20] este 10
  4. Un patrat are latura de 5 cm. Atunci aria este de 25 cm2, folosind formula A = l2
  5. Intr-un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’ unghiul dintre dreptele BC si DD’ este de 90 grade.
  6. Intr-un depozit sunt 100 kg de fructe: mere, pere, prune, gutui. Repartitia procentuala conform diagramei este urmatoarea: mere 35%, pere 15%, prune 30%, gutui 20%. Cantitatea de gutui va fi asadar: 20/100 * 100 = 20 kg

Subiectul II

II. 1.

Desenati un cub. Notati-l ABCDEFGH.

II. 2.

Aratati ca media aritmetica a numerelor a si b este 2:

a = (3/4 – 1/2): 1/12 si b = 3 (2/3 – 1/2 + 1/6)

Calculam: a = (3/4 – 1/2) * 12 = 3/4 * 12 – 1/2 * 12 = 9 – 6 = 3

Calculam: b = 3 * 2/3 – 3 * 1/2 + 3 * 1/6 = 2 – 3/2 + 1/2 = 2 + (-3+1)/2 = 2 – 2/2 = 1

Calculam media aritmetica: Ma(a,b) = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

II. 3.

Ana si Mihai au economisit 140 lei. Stim ca 30% din suma economisita de Ana reprezinta doua cincimi din suma lui Mihai. Cat a economisit Ana?

Notam a= suma economisita de Ana si m = suma economisita de Mihai

Avem ecuatia: 30/100 * a = 2/5 * m

Din simplificare si proprietatile rapoartelor obtinem: 15a = 20m

sau 3a = 4m

Inlocuim in suma: a + m = 140 => 3a + 3m = 3 * 140 = 420 => 4m + 3m => 7m = 420 adica m = 60 lei, deci a = 140 – 60 lei = 80 lei.

OBSERVATIE: Putem scoate direct suma economisita de Ana daca inmultim relatia a + m = 140 cu 4: 

4a + 4m = 4 * 140 = 560 => 4a + 3a = 560 => 7a = 560 => a = 560/7 = 80 lei

II. 4.

a) x = 347:345 – 240:238  si y = (\frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5})*\sqrt{5} + (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} ):\frac{1}{3\sqrt{3}}a)  Aratati ca x = 5

Avem: x = 32 – 22 = 9 – 4 = 5 (am folosit proprietatile puterilor: avand aceeasi baza, impartirea inseamna scaderea puterilor)

II. 4.

b) Se considera N = y – (x+1)/2. Determinati cel mai mic numar natural de 2 cifre divizibil cu Ny = (\frac{1}{\sqrt{5}} + \sqrt{5})*\sqrt{5} + (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} ):\frac{1}{3\sqrt{3}}Avem: y = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{5} + (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} )3\sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{5} + 3\sqrt{3}\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} Deci y = 1 + 5 + 9 – 3 = 12Calculam N = y – (x+1)/2 = 12 – (5+1)/2 = 12 – 6/2 = 9

Cautam cel mai mic numar natural de 2 cifre care sa fie multiplu de 9 => raspunsul este 18.

II. 5.

Se considera expresia E(x) = (2x+1)2 – 3(x-1)2 – (x-1)(x+1) – 6(x+1). Determinati numerele naturale n astfel incat E(n)<= -1

Calculam E(x) = 4x2 + 4x + 1 – 3(x2 – 2x + 1) – (x2 – 1) – 6x – 6

E(x) = 4x2 + 4x + 1 – 3x2 + 6x – 3 – x2 + 1 – 6x – 6

E(x) = 4x – 7

4x – 7 <= -1 => 4x <= 6 => x <= 6/4 = 3/2 = 1.5

Numerele naturale mai mici sau egale cu 1.5 sunt {0, 1}.

Subiectul III

III. 1.

a) Perimetrul paralelogramului ABCD se calculeaza conform formulei:

P = 2(AB + BC) = 2(13 + 10) = 46 cm

 

b) Demonstrati ca segmentele AB si AE sunt congruente.

ADEC este trapez isoscel deoarece DE//AC si CE = BC = AD. Conform proprietatilor trapezului isoscel, diagonalele vor fi congruente.

Deci CD = AE. Deoarece ABCD paralelogram, rezulta AB = CD, deci AB = AE

c) Daca unghiul BCE are 60 grade, atunci aria patrulaterului ABCE este

 60+25\sqrt{3}

Conform ipotezei si subpct b) rezulta triunghiul BCE are toate laturile congruente, deci este triunghi chilateral, unul latura de 10. Triunghiul ABE este isoscel cu baza de 10 si laturile congruente de 13.

Aria cautata va fi de fapt suma ariilor acestor 2 triunghiuri.

Formula ariei unui triunghi echilateral: h = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}, deci aria BCE = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} 

Pentru a calcula aria ABE, trebuie sa determinam inaltimea din varf. 

Notam cu T piciorul inaltimii din A pe baza BE.

Aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ATE, deci AE2 = AT2 + TE2 => AT2 = 169 – 25 = 144, deci AT = 12 (se extrage radicalul)

Aria triunghiului ABE va fi: 12 * 10 / 2 = 60 cm2

Aria figurii ABCE va fi suma celor doua arii de mai sus, deci 

60+25\sqrt{3}

III. 2.

a) Aratati ca aria dreptunghiului ABCD este 240 cm2

Aria dreptunghiului ABCD se calculeaza conform formulei L*l (produsul dintre lungime si latime)

Lungimea este AB = 24 cm, latimea este BC = 10 cm

Deci aria este 240 cm2

b) Planele (MNP) si (BDE) sunt paralele.

MN este linie mijlocie in triunghiul ABD, conform ipotezei M, N mijloacele laturilor.

Deci MN// BD

NP este linie mijlocie in triunghiul ADE, conform ipotezei N, P mijloacele laturilor.

Deci NP // DE

Cum (MN,NP)  = (MNP) si (BD, DE) = (BDE) rezulta (MNP) // (BDE)

c) Aratati ca distanta dintre planele (MNP) si (BDE) este de 60/13 cm

Consideram MN // BD, dreapta MN fiind inclusa in planul (MNP) si dreapta BD fiind inclusa in planul (BDE). Construim o perpendiculara din A pe BD, notata AF. In aces caz, AF intersecteaza MN intr-un punct sa zicem G. Atunci distanta ceruta va fi chiar diferenta intre AF si AG.

Triunghiul ABD dreptunghic in B. Diagonala BD se caluleaza conform Teoremei lui Pitagora.

BD2 = 102+ 24= 4 * 169 => BD = 2 * 13 = 26 cm

Inaltimea AF in triunghiul dreptunghic ABD are lungimea conform formulei:

h = c1 * c2 / ipunde c1 = cateta 1, c2 = cateta 2, ip = ipotenuza

Deci AF = 24 * 10 / 26 = 240 /26 = 120 / 13

Inaltimea AG in triunghiul dreptunghic AMN: AG = 12 * 5 / MN.

MN se determina din Teorema lui Pitagora in triunghiul AMN => MN = 13Deci AF = 60 /13

Concluzia: distanta dintre cele 2 plane va fi 120/13 – 60/13 = 60/13 cm

OBSERVATIE: MN este linie mijlocie in triunghiul ABD, deci distanta de la MN la BD va fi de fapt jumatate din distanta de la A la BD. Se reduce astfel timpul pentru calculul inaltimii in triunghiul AMN.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *